Częścią logicznego języka jest zapis matematyczny. W jednej z wersji:
Podstawy[]
Używa się 84 znaków (dostępnych bezpośrednio z klawiatury):
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ` ~ ! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ { ] } ; : ' " \ | , < . > / ?
Symbole dzieli się dowolnymi białymi znakami (spacja, znak tabulacji, enter).
Jest pięć pojęć pierwotnych, których nie precyzuje się nawet aksjomatami.
(
- prafunkcja dwuargumentowa "pierwszy od drugiego", szczególny element składni\l
- operator lambda przyjmujący dwa argumenty (zmienną związaną i wyrażenie); tworzy raczej funkcjonały niż funkcje, otrzymany funkcjonał działa zgodnie z wyrażeniem dla zwykłych rzeczy, ale dla innych takich funkcjonałów zwraca błąd (zawsze ten sam); nie może być argumentem_A\V
- operator "istnieje" przyjmujący dwa argumenty (zmienną związaną i wyrażenie); traktuje wszystko, co nie jest prawdą, jak fałsz; nie może być argumentem_Aani
- zwykły operator logiczny dwuargumentowy; traktuje wszystko, co nie jest prawdą, jak fałsz; po zastosowaniu do jednego argumentu dla każdej nieprawdy daje to samolambda
- zwykły operator jednoargumentowy, informuje, czy coś jest wynikiem działania lambdy
Logika[]
Ani zastępuje wszystkie funkcje logiczne (z innymi znakami można łatwiej):
a\b | 0 | 1 |
0 | ||
1 |
00 0 00 ( ( ani a ( ( ani a a 00 a i b 01 ( ( ani ( ( ani a a ( ( ani b b 00 a i ~b 10 ( ( ani b ( ( ani a b 00 a 11 a 01 ~a i b 00 ( ( ani a ( ( ani a b 01 b 01 b 01 a albo b 10 ( ( ani ( ( ani a b ( ( ani ( ( ani a a ( ( ani b b 01 a lub b 11 ( ( ani ( ( ani a b ( ( ani a b 10 a ani b 00 ( ( ani a b 10 a <=> b 01 ( ( ani ( ( ani a ( ( ani a b ( ( ani b ( ( ani a b 10 ~b 10 ( ( ani b b 10 a <= b 11 ( ( ani ( ( ani a ( ( ani a b ( ( ani a ( ( ani a b 11 ~a 00 ( ( ani a a 11 a => b 01 ( ( ani ( ( ani b ( ( ani a b ( ( ani b ( ( ani a b 11 ~a lub ~b 10 ( ( ani ( ( ani ( ( ani a a ( ( ani b b ( ( ani ( ( ani a a ( ( ani b b 11 1 11 ( ( ani ( ( ani a ( ( ani a a ( ( ani a ( ( ani a a
Równoważność zapisujemy
( ( _Aani ( ( _Aani a ( ( _Aani a b ( ( _Aani b ( ( _Aani a b
Równe jest to, co ma równe wartości dla wszystkich argumentów i jako argument dla wszystkich funkcji
( ( _A<=> ( ( = x y ( ( ani ( ( _A\V z ( ~ ( ( = ( x z ( y z ( ( _A\V z ( ~ ( ( = ( z x ( z x
Coś jest równe
( ( = ani ani
A coś jest nierówne
( ( ani ( ( = ( ( = ani lambda ( ( = ani lambda
Implikację a=>b można też zapisać
( ( _Aani ( ( _Aani ( ( _Aani a a b ( ( _Aani ( ( _Aani a a b
Co odpowiada definicji
( ~ ( ( _A\V x ( ( _A\V y ( ~ ( ( = ( ( _Aani ( ( _Aani ( ( _Aani x x y ( ( _Aani ( ( _Aani x x y ( ( _A=> x y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y
Z powyższych tworzymy zdanie, w którym mamy zdanie b przy założeniu zdefiniowania implikacji
( ( ani ( ( ani ( ( ani ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y b ( ( ani ( ( ani ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y b
Definiujemy też tradycyjne operatory logiczne (równoważność to równość):
- negację
( ( = ~ ( ( \l x ( ( ani x x
- koniunkcję
( ( = & ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ~ x ( ~ y
- alternatywę
( ( = lub ( ( \l x ( ( \l y ( ~ ( ( ani x y
- kwantyfikator wielki - działa na funkcje
( ( = \A ( ( \l y ( ~ ( \V ( ( \l x ( ~ ( y x
Łączymy je i dostajemy zdanie, które mówi, że jeśli zastosujemy te symbole, to b
( ( => ( ( = ~ ( ( \l x ( ( ani x x ( ( => ( ( = & ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ~ x ( ~ y ( ( => ( ( = lub ( ( \l x ( ( \l y ( ~ ( ( ani x y ( ( => ( ( = \A ( ( \l y ( ~ ( \V ( ( \l x ( ~ ( y x b
Wstawiamy je do poprzedniego wielkiego zdania
( ( ani ( ( ani ( ( ani ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y ( ( => ( ( = ~ ( ( \l x ( ( ani x x ( ( => ( ( = & ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ~ x ( ~ y ( ( => ( ( = lub ( ( \l x ( ( \l y ( ~ ( ( ani x y ( ( => ( ( = \A ( ( \l y ( ~ ( \V ( ( \l x ( ~ ( y x b ( ( ani ( ( ani ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y ( ( = => ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ( ani ( ( ani x x y ( ( ani ( ( ani x x y ( ( => ( ( = ~ ( ( \l x ( ( ani x x ( ( => ( ( = & ( ( \l x ( ( \l y ( ( ani ( ~ x ( ~ y ( ( => ( ( = lub ( ( \l x ( ( \l y ( ~ ( ( ani x y ( ( => ( ( = \A ( ( \l y ( ~ ( \V ( ( \l x ( ~ ( y x b
Teraz w zdaniu b można korzystać z operatorów logicznych i kwantyfikatorów, a całość może działać bez wykorzystywania zewnętrznych twierdzeń.
Warto dorobić kilka definicji (nieopisanych na razie w zbiorczych wzorach)
( ( = tak ( ( \V ( \l x ( ( = x x ( ( = nie ( ~ tak ( = albo ( \l x ( \l y ( ani ( ani x y ) ( & x y ) ) ) ) ) ( = \V_ ( \l x ( \l y ( \V ( \l z ( & ( x z ) ( y z ) ) ) ) ) ) ) ( = \A_ ( \l x ( \l y ( \V ( \l z ( => ( x z ) ( y z ) ) ) ) ) ) ) ( \A ( ( \l x ( ( = ( logiczny x ( ( lub ( ( = tak x ( ( = nie x ( \A ( ( \l x ( ( = ( formula x ( \A ( ( \l y ( logiczny ( x y ( = != ( \l x ( \l y ( ~ ( = x y ) ) ) ) ) ( = \E! ( \l x ( ( \V y ( \A ( \l z ( = ( = y z ) ( x z ) ) ) ) ) ) ) ) ( = \E!_ ( \l x ( \l y ( \E! ( \l z ( & ( x z ) ( y z ) ) ) ) ) ) ) ( = <= ( \l x ( \l y ( => y x ) ) ) )
Liczby naturalne[]
Można też opisać liczby naturalne. .
oznacza liczbę zero, a 0
będzie raczej cyfrą (funkcją). Definicje się kończą, a aksjomaty wymagają chyba założenia istnienia. Aksjomaty przybierają postać:
( naturalna . ( \A ( ( \l x ( ( => ( naturalna ( 'N x ( naturalna x ( ~ ( \V ( \l x ( & ( naturalna x ) ( = ( 'N x ) . ) ) ) ) ) ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( ~ ( = x y ) ) ) ( ~ ( = ( 'N x ) ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l x ( => ( & ( x . ) ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna y ) ( x y ) ) ( x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l y ( => ( naturalna y ) ( x y ) ) ) ) ) ) )
Definicja dodawania:
( \E + ) ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = x ( + . x) ) ) ) ) ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( + ( 'N y ) x ) ( 'N ( + y x ) ) ) ) ) ) ) )
I mnożenia:
( \E * ) ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = . ( * . x) ) ) ) ) ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( * ( 'N y ) x ) ( + x ( * y x ) ) ) ) ) ) ) )
To znowu zbieramy
( => ( \E . ) ( => ( \E naturalna ) ( => ( \E 'N ) ( => ( naturalna . ) ( => ( \A ( \l x ( naturalna ( 'N x ) ) ) ) ( => ( ~ ( \V ( \l x ( & ( naturalna x ) ( = ( 'N x ) . ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( ~ ( = x y ) ) ) ( ~ ( = ( 'N x ) ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( => ( & ( x . ) ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna y ) ( x y ) ) ( x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l y ( => ( naturalna y ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E + ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = x ( + . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( + ( 'N y ) x ) ( 'N ( + y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E * ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = . ( * . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( * ( 'N y ) x ) ( + x ( * y x ) ) ) ) ) ) ) ) b ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
i wstawiamy do z poprzednimi założeniami:
( ani ( ani ( ani ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ) ( => ( = ~ ( \l x ( ani x x ) ) ) ( => ( = & ( \l x ( \l y ( ani ( ~ x ) ( ~ y ) ) ) ) ) ( => ( = lub ( \l x ( \l y ( ~ ( ani x y ) ) ) ) ) ( => ( = \A ( \l y ( ~ ( \V ( \l x ( ~ ( y x ) ) ) ) ) ) ( => ( = \E ( \l y ( \V ( \l x ( = x y ) ) ) ) ) ( => ( \E . ) ( => ( \E naturalna ) ( => ( \E 'N ) ( => ( naturalna . ) ( => ( \A ( \l x ( naturalna ( 'N x ) ) ) ) ( => ( ~ ( \V ( \l x ( & ( naturalna x ) ( = ( 'N x ) . ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( ~ ( = x y ) ) ) ( ~ ( = ( 'N x ) ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( => ( & ( x . ) ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna y ) ( x y ) ) ( x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l y ( => ( naturalna y ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E + ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = x ( + . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( + ( 'N y ) x ) ( 'N ( + y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E * ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = . ( * . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( * ( 'N y ) x ) ( + x ( * y x ) ) ) ) ) ) ) ) b ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ani ( ani ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ) ( => ( = ~ ( \l x ( ani x x ) ) ) ( => ( = & ( \l x ( \l y ( ani ( ~ x ) ( ~ y ) ) ) ) ) ( => ( = lub ( \l x ( \l y ( ~ ( ani x y ) ) ) ) ) ( => ( = \A ( \l y ( ~ ( \V ( \l x ( ~ ( y x ) ) ) ) ) ) ( => ( = \E ( \l y ( \V ( \l x ( = x y ) ) ) ) ) ( => ( \E . ) ( => ( \E naturalna ) ( => ( \E 'N ) ( => ( naturalna . ) ( => ( \A ( \l x ( naturalna ( 'N x ) ) ) ) ( => ( ~ ( \V ( \l x ( & ( naturalna x ) ( = ( 'N x ) . ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( ~ ( = x y ) ) ) ( ~ ( = ( 'N x ) ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( => ( & ( x . ) ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna y ) ( x y ) ) ( x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l y ( => ( naturalna y ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E + ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = x ( + . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( + ( 'N y ) x ) ( 'N ( + y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E * ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = . ( * . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( * ( 'N y ) x ) ( + x ( * y x ) ) ) ) ) ) ) ) b ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Wreszcie możemy zapisać 2+2=4, czyli 0''+0''=0''''
( = ( 'N ( 'N ( 'N ( 'N . ) ) ) ) ( + ( 'N ( 'N . ) ) ( 'N ( 'N . ) ) ) )
A więc po wstawieniu
( ani ( ani ( ani ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ) ( => ( = ~ ( \l x ( ani x x ) ) ) ( => ( = & ( \l x ( \l y ( ani ( ~ x ) ( ~ y ) ) ) ) ) ( => ( = lub ( \l x ( \l y ( ~ ( ani x y ) ) ) ) ) ( => ( = \A ( \l y ( ~ ( \V ( \l x ( ~ ( y x ) ) ) ) ) ) ( => ( = \E ( \l y ( \V ( \l x ( = x y ) ) ) ) ) ( => ( \E . ) ( => ( \E naturalna ) ( => ( \E 'N ) ( => ( naturalna . ) ( => ( \A ( \l x ( naturalna ( 'N x ) ) ) ) ( => ( ~ ( \V ( \l x ( & ( naturalna x ) ( = ( 'N x ) . ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( ~ ( = x y ) ) ) ( ~ ( = ( 'N x ) ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( => ( & ( x . ) ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna y ) ( x y ) ) ( x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l y ( => ( naturalna y ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E + ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = x ( + . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( + ( 'N y ) x ) ( 'N ( + y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E * ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = . ( * . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( * ( 'N y ) x ) ( + x ( * y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( = ( 'N ( 'N ( 'N ( 'N . ) ) ) ) ( + ( 'N ( 'N . ) ) ( 'N ( 'N . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ani ( ani ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ( = => ( \l x ( \l y ( ani ( ani ( ani x x ) y ) ( ani ( ani x x ) y ) ) ) ) ) ) ( => ( = ~ ( \l x ( ani x x ) ) ) ( => ( = & ( \l x ( \l y ( ani ( ~ x ) ( ~ y ) ) ) ) ) ( => ( = lub ( \l x ( \l y ( ~ ( ani x y ) ) ) ) ) ( => ( = \A ( \l y ( ~ ( \V ( \l x ( ~ ( y x ) ) ) ) ) ) ( => ( = \E ( \l y ( \V ( \l x ( = x y ) ) ) ) ) ( => ( \E . ) ( => ( \E naturalna ) ( => ( \E 'N ) ( => ( naturalna . ) ( => ( \A ( \l x ( naturalna ( 'N x ) ) ) ) ( => ( ~ ( \V ( \l x ( & ( naturalna x ) ( = ( 'N x ) . ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( ~ ( = x y ) ) ) ( ~ ( = ( 'N x ) ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( => ( & ( x . ) ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna y ) ( x y ) ) ( x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l y ( => ( naturalna y ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E + ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = x ( + . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( + ( 'N y ) x ) ( 'N ( + y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( => ( \E * ) ( => ( \A ( \l x ( => ( naturalna x ) ( = . ( * . x) ) ) ) ) ( => ( \A ( \l x ( \A ( \l y ( => ( & ( naturalna x ) ( naturalna y ) ) ( = ( * ( 'N y ) x ) ( + x ( * y x ) ) ) ) ) ) ) ) ( = ( 'N ( 'N ( 'N ( 'N . ) ) ) ) ( + ( 'N ( 'N . ) ) ( 'N ( 'N . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Można by oczywiscie trochę krócej.
Przydadzą się nierówności i krótki zapis liczb (system dziesiętny później).
( = ( 'N . ) 1. ) ( = ( 'N 1. ) 2. ) ( = ( 'N 2. ) 3. ) ( = ( 'N 3. ) 4. ) ( = ( 'N 4. ) 5. ) ( = ( 'N 5. ) 6. ) ( = ( 'N 6. ) 7. ) ( = ( 'N 7. ) 8. ) ( = ( 'N 8. ) 9. ) ( = ( 'N 9. ) 10. )
- x jest większe lub równe
( \A_ naturalna ( \l x ( \A_ naturalna ( \l y ( lub ( = ( >= x y ) tak ) ( = ( >= x y ) nie ) ) ) ) ) ) ( \A_ naturalna ( \l x ( >= x x ) ) ) ( \A_ naturalna ( \l x ( \A_ naturalna ( \l y ( => ( >= x y ) ( >= x ( 'N y ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ naturalna ( \l x ( \A_ naturalna ( \l y ( => ( != x y ) ( albo ( >= x y ) ( >= y x ) ) ) ) ) ) )
- nierówność ostra
( \A_ naturalna ( \l x ( \A_ naturalna ( \l y ( = ( > x y ) ( & ( != x y ) ( >= x y ) ) ) ) ) ) )
.. sprawdzić
Zamiana kolejności argumentów
( ( \A ( ( \l x ( ( \A ( ( \l y ( ( \A ( ( \l z ( ( = ( ( ( \kappa_1<->2 x y z ( ( x z y
( ( = < ( \kappa_1<->2 > ( ( = =< ( \kappa_1<->2 >=
Definiuje
( \A ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( ( definiuje x y ( ( => ( \V ( ( \l z ( x z ( x y
Działania na funkcjach zamiast na argumentach
( \A ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( definiuje ( ( \l z ( ( \A ( ( \l t ( ( = ( z t ( x ( y t ( ( f\l x y ( ( = ~\l ( f\l ~ ( \A ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( definiuje ( ( \l t ( ( \A ( ( \l u ( ( = ( t u ( ( x ( y u ( z u ( ( ( o\l x y z ( ( = &\l ( o\l & ( ( = lub\l ( o\l lub ( ( = +\l ( o\l + ( ( = *\l ( o\l *
Jedyne
( ( \A_ ( ( \l a ( \V ( ~\l a ( ( \l a ( ( = ( a ( jedyne a ( \E! a
Zbiory[]
Następny etap to zbiory.
Oryginalnie założę, że nie wszystko jest zbiorem.
( \A ( ( \l x ( ( = ( klasa x ( formula ( \w x ( formula zbior ( ( \A_ zbior klasa ( ( = zbiorZbiorow ( ( \l x ( ( & ( zbior x ( ( \A_ ( \w x zbior ( zbior {} ( ~ ( \V ( \w {} ( \A_ zbior ( \l x ( \A_ zbior ( \l y ( = ( \u x y ) ( \U ( {2 x y ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ zbiorZbiorow ( \l x ( = ( \nn x ) ( {f ( \l y ( \A_ ( \w x ) ( \l z ( ( \w z y ) ) ) ) ) ( ( \U x ) ) ) ) ) ) ( \A_ zbior ( \l x ( \A_ zbior ( \l y ( = ( \n x y ) ( \nn ( {2 x y ) ) ) ) ) ) )
- Aksjomat ekstensjonalności
( \A_ zbior ( \l x ( \A_ zbior ( \l y ( => ( \A ( \l z ( = ( \w x z ) ( \w y z ) ) ) ) ( = x y ) ) ) ) ) )
- Aksjomat podzbioru
( \A_ zbior ( \l x ( \A_ formula ( \l y ( \A ( \l z ( = ( \w ( {f y x ) z ) ( & ( \w x z ) ( y z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ zbior ( \l x ( \A_ formula ( \l y ( ( zbior ( {f y x ) ) ) ) ) ) )
- aksjomat pary
( \A_ zbior ( \l x ( \A_ zbior ( \l y ( \A ( \l z ( = ( \w ( {2 x y ) z ) ( lub ( = x z ) ( = y z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ zbior ( \l x ( \A_ zbior ( \l y ( zbior ( {2 x y ) ) ) ) ) )
- aksjomat sumy
( \A_ zbiorZbiorow ( \l x ( \A ( \l y ( = ( \w ( \U x ) y ) ( \V_ ( \w x ) ( \l z ( \w z y ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ zbiorZbiorow ( \l x ( zbior ( \U x ) ) ) )
- aksjomat zbioru potęgowego
( = \c ( \l x ( \l y ( \A_ ( \w y ) ( \w x ) ) ) ) ) ( \A_ zbior ( \l x ( = ( \w ( \P x ) ) ( \c x ) ) ) ) ( \A_ zbior ( \l x ( zbior ( \P x ) ) ) )
- aksjomat nieskończoności - istnieje zbiór liczba naturalnych
( ( \V_ zbior ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( naturalna y ( ( \w x y
- aksjomat zastępowania
( \A_ zbior ( \l x ( \A_ ( \l y ( \A ( \l z ( zbior ( y z ) ) ) ) ) ( \l y ( = ( \w ( {z y x ) ) ( \l z ( \V_ ( \w x ) ( \l t ( = ( y t ) z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ zbior ( \l x ( \A_ ( \l y ( \A ( \l z ( zbior ( y z ) ) ) ) ) ( \l y ( zbior ( {z y x ) ) ) ) ) )
- aksjomat regularności
( \A_ zbior ( \l x ( \V_ ( \w x ) ( \l y ( = {} ( \n x y ) ) ) ) ) )
- aksjomat wyboru
( ( \A_ zbiorZbiorow ( ( \l x ( ( => ( ( & ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( \l z ( ( => ( ( != y z ( ( = {} ( ( \n y z ( ( \A_ ( \w x ( != {} ( ( \V_ zbior ( ( \l y ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( \E!_ ( \w y ( \w z
( ( = \wen ( \kappa_1<->2 \w
\N
- prawdziwy "zbiór" liczb naturalnych to nie zbiór
( ( = ( \w \N naturalna ( ~ ( zbior \N
Poprawa definiowania podzbiorów
( ( \A_ zbior ( ( \l x ( ( \A_ ( ( \l y ( formula ( ( \l z ( ( & ( ( \w x z ( y z ( ( \l y ( ( = ( ( {f y x ( ( {f ( ( \l z ( ( & ( ( \w x z ( y z x ( \A ( \l x ( = ( V_ zbior ( \l y ( \A ( \l z ( = ( \w y z ) ( x z ) ) ) ) ) ) ( zbior ( {ff x ) ) ) ) ) ( \A ( \l x ( = ( V_ zbior ( \l y ( \A ( \l z ( = ( \w y z ) ( x z ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l z ( = ( \w ( {ff x ) z ) ( x z ) ) ) ) ) ) )
( ( = podzbior ( ( \l x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w y ( \w x
( ( = nadzbior ( \kappa_1<->2 podzbior
Różnica zbiorów
( ( = -{ ( ( \l x ( ( \l y ( ( {f y ( ( \l z ( ~ ( ( \w x z
Od razu przedziały liczb naturalnych:
( \A ( \l x ( \A ( \l y ( = ( [N x y ) ( {f ( \l z ( & ( >= x z ) ( >= z y ) ) ) \N ) ) ) ) ) ) ( = \N+ ( {f ( > . ) \N ) )
Zbiory definiowane przez wymienienie argumentów
( \A ( \l x ( => ( \V_ zbior ( \l y ( = ( \w y ) ( = x ) ) ) ) ( & ( = ( \w ( { x ) ) ( = x ) ) ( zbior ( { x ) ) ) ) ) ) ( \A ( \l x ( = ( \V_ zbior ( \l y ( = ( \w y ) ( = x ) ) ) ) ( zbior ( { x ) ) ) ) ) ( formula wBudowie_{. ) ( wBudowie_{. {. ) ( = ( .. {. ) {} ) ( \A_ wBudowie_{. ( \l x ( \A ( \l y ( = ( .. ( x y ) ) ( \u ( .. x ) ( { y ) ) ) ) ) ) ) ( formula wBudowie_{n ) ( \A_ ( \w \N+ ) ( \l x ( & ( & ( wBudowie_{n ( {n x ) ) ( = {} ( juz ( {n x ) ) ) ) ( = x ( ile ( {n x ) ) ) ) ) ) ( \A_ wBudowie_{n ( \l x ( => ( > 1. ( ile x ) ) ( \A ( \l y ( & ( = ( 'N ( ile ( x y ) ) ) ( ile x ) ) ( = ( \u ( juz x ) ( { y ) ) ( juz ( x y ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ wBudowie_{n ( \l x ( => ( = 1. ( ile x ) ) ( \A ( \l y ( = ( \u ( juz x ) ( { y ) ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( ( = {} ( {n . ( ( = {2 ( {n 2. ) )
Funkcje[]
Teraz przychodzi kolej na funkcje o określonej dziedzinie i pary.
( formula funkcjaZ ( ( \A_ funkcjaZ ( ( \l x ( zbior ( dziedzina x ( \A_ funkcjaZ ( \l x ( \A_ funkcjaZ ( \l y ( = ( = x y ) ( & ( = ( dziedzina x ) ( dziedzina y ) ) ( \A_ ( \w ( dziedzina x ) ) ( \l z ( = ( x z ) ( y z ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A ( ( \l x ( \A y ( ( = ( ( \V_ funkcjaZ ( ( \l z ( ( & ( ( = ( dziedzina z ( {ff ( \w x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( = ( y t ( z t ( ( & ( ( & ( funkcjaZ ( ( obetnij x y ( ( = ( dziedzina ( ( obetnij x y ( {ff ( \w x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( = ( y t ( ( ( obetnij x y t ( = para ( \l x ( & ( funkcjaZ x ) ( = ( dziedzina x ) ( [N 1. 2. ) ) ) ) ( ( \A_ ( \w \N+ ( ( \l x ( ( = ( ( n-ka x ( ( \l y ( ( & ( funkcjaZ y ( ( = ( dziedzina y ( ( [N 1. x ( = ( n-ka . ) ( \l y ( & ( funkcjaZ x ) ( = ( dziedzina x ) {} ) ) ) ( = krotka ( \l x ( \V_ naturalna ( \l y ( n-ka y x ) ) ) ) ) ( \A_ krotka ( \l x ( n-ka ( dlugosc x ) x ) ) ) ( \A ( ( \l x ( ( & ( ( n-ka 1. ( (1 x ( ( = x ( ( (1 x 1. ( ( \A_ krotka ( ( \l x ( ( \A_ krotka ( ( \l y ( ( & ( ( n-ka ( ( + ( dlugosc x ( dlugosc y ( ( zloz x y ( & ( ( \A_ ( \w ( ( [N 1. ( dlugosc x ( ( \l z ( ( = ( ( ( zloz x y z ( x z ( ( \A_ ( \w ( ( [N 1. ( dlugosc y ( ( \l z ( ( = ( ( ( zloz x y ( ( + z ( dlugosc x ( y z
( formula wBudowie_(. ( wBudowie_(. (. ( ( n-ka . ( .. (. ( ( \A_ wBudowie_(. ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( .. ( x y ( ( zloz ( .. x ( (1 y ( formula wBudowie_(n ) ( \A_ ( \w \N+ ) ( \l x ( & ( & ( wBudowie_(n ( (n x ) ) ( n-ka . ( juz ( (n x ) ) ) ) ( = x ( ile ( (n x ) ) ) ) ) ) ( \A_ wBudowie_(n ( \l x ( => ( > 1. ( ile x ) ) ( \A ( \l y ( & ( = ( 'N ( ile ( x y ) ) ) ( ile x ) ) ( = ( zloz ( juz x ) ( (1 y ) ) ( juz ( x y ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( \A_ wBudowie_(n ( \l x ( => ( = 1. ( ile x ) ) ( \A ( \l y ( = ( zloz ( juz x ) ( (1 y ) ) ( x y ) ) ) ) ) ) ) ( ( \A_ krotka ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( ( doloz y x ( ( zloz x ( (1 y ( ( n-ka . ( (n . ( ( = (2 ( (n 2.
Funkcje definiujące
( ( = okresla ( ( \l x ( ( \l y ( ( \A_ x ( ( \l z ( ( \A_ x ( ( \l t ( ( = ( ( = z t ( ( = ( y z ( y t ( ( \A_ formula ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( & ( ( = ( ( \V_ x ( ( \l t ( ( = ( y t z ( x ( ( ( zloz x y z ( ( => ( x ( ( ( zloz x y z ( ( = ( y ( ( ( zloz x y z z
Identyczność
( ( = id ( ( \l x x
( ( = odwracalna ( ( \l x ( \V ( ( \l y ( ( = id ( ( \l z ( y ( x z ( ( \A_ odwracalna ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( ( odwrotna x ( x y y
Przerabianie funkcji działajacej na n-kach na funkcję tworzącą funkcje ( ( \kappa_n-ka->wieloargumentowa n f
( ( = ( \kappa_wieloargumentowa->n-ka . id ( ( \A_ ( \w \N ( ( \l x ( ( \A_ ( n-ka x ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( \A ( ( \l t ( ( = ( ( ( ( \kappa_wieloargumentowa->n-ka x z y t ( ( ( \kappa_wieloargumentowa->n-ka ( 'N x z ( doloz t y ( \A_ naturalna ( ( \l x ( ( & ( odwracalna ( \kappa_wieloargumentowa->n-ka x ( ( = ( \kappa_n-ka->wieloargumentowa x ( odwrotna ( \kappa_wieloargumentowa->n-ka x
Grupy itd.[]
A następnie grupy, ciała, przestrzenie wektorowe i algebry.
( formula grupoid ( ( \A_ grupoid ( ( \l x ( zbior ( {ff ( \w x ( ( \A_ grupoid ( ( \l x ( ( \A_ grupoid ( ( \l y ( ( = ( ( = x y ( ( & ( ( = ( {ff ( \w x ( {ff ( \w y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( = ( ( ( oG x z t ( ( ( oG y z t
Według schematu ( ( laczny zbiór działanie
( = laczny ( \l x ( \l y ( \A_ ( \w x ) ( \l a ( \A_ ( \w x ) ( \l b ( \A_ ( \w x ) ( \l c ( = ( y ( y c b ) a ) ( y c ( y b a ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Według schematu ( e_neutralny zbiór działanie element )
( = e_neutralny ( \l x ( \l y ( \l z ( \A_ ( \w x ) ( \l a ( & ( = ( y z a ) a ) ( = ( y a z ) a ) ) ) ) ) ) ) )
Według schematu ( e_przeciwny zbiór działanie element_a element_b )
( = e_przeciwny ( \l x ( \l y ( \l a ( \l b ( & ( e_neutralny x y ( y a b ) ) ( e_neutralny x y ( y b a ) ) ) ) ) ) ) )
Według schematu ( przemienny zbiór działanie )
( = przemienny ( \l x ( \l y ( \A_ ( \w x ) ( \l z ( \A_ ( \w x ) ( \l t ( = ( y z t ) ( y t z ) ) ) ) ) ) ) ) )
( = polgrupa ( \l x ( & ( grupoid x ) ( laczny x ( oG x ) ) ) ) ) ( = grupoid_z1 ( \l x ( & ( grupoid x ) ( \V_ ( \w x ) ( e_neutralny x ( oG x ) ) ) ) ) ) ( = lupa ( \l x ( & ( grupoid_z1 x ) ( \A_ ( \w x ) ( \l y ( \V_ ( \w x ) ( e_przeciwny x ( oG x ) y ) ) ) ) ) ) ) ( = grupa ( \l x ( & ( lupa x ) ( polgrupa x ) ) ) ) ( = grupaPrzemienna ( \l x ( & ( grupa x ) ( przemienny x ( oG x ) ) ) ) )
Złóż grupę
( \A ( ( \l x ( \A ( ( y ( ( = ( ( V_ grupoid ( ( \l z ( ( & ( ( = ( \w x ( \w z ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( \A_ ( \w x ( ( \l u ( ( = ( ( y t u ( ( ( oG z t u ( ( & ( ( & ( grupoid ( ( zlozGrupe x y ( ( = ( \w x ( \w ( ( zlozGrupe x y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( \A_ ( \w x ( ( \l u ( ( = ( ( y t u ( ( ( oG ( ( zlozGrupe x y t u
Grupa addytywna i multiplikatywna
( formula grupowosc ( grupowosc grupoid ( grupowosc polgrupa ( grupowosc grupoid_z1 ( grupowosc lupa ( grupowosc grupa ( grupowosc grupaPrzemienna
( ( \A_ grupowosc ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( ( addytywna x y ( x ( ( zlozGrupe y ( +P x ( ( \A_ grupowosc ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( = ( ( multiplikatywna x y ( x ( ( zlozGrupe y ( *P x
Pierścienie
( formula pierscienioid ( ( \A_ pierscienioid ( ( \l x ( zbior ( {ff ( \w x ( \A_ pierscienioid ( \l x ( \A_ pierscienioid ( \l y ( = ( = x y ) ( & ( = ( {ff ( \w x ) ) ( {ff ( \w y ) ) ) ( \A_ ( \w x ) ( \l z ( \A_ ( \w x ) ( \l t ( & ( = ( +P x z t ) ( +P y z t ) ) ( = ( *P x z t ) ( *P y z t ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Według schematu ( rozdzielny zbiór mnożenie dodawanie )
( = rozdzielny ( \l x ( \l y ( \l z ( \A_ ( \w x ) ( \l a ( \A_ ( \w x ) ( \l b ( \A_ ( \w x ) ( \l c ( & ( = ( z c ( y a b ) ) ( y ( z c a ) ( z c b ) ) ) ( = ( z ( y a b ) c ) ( y ( z a c ) ( z b c ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
( ( = subpierscien ( ( \l x ( ( & ( pierscienioid x ( grupaPrzemienna ( ( zlozGrupe x ( +P x
( ( \A_ subpierscien ( ( \l x ( ( ( e_neutralny x ( +P x ( 0P x
( ( = pierscien_sl ( ( \l x ( ( & ( subpierscien x ( ( ( rozdzielny x ( +P x ( *P x ( ( = pierscien ( ( \l x ( ( & ( pierscien_sl x ( ( laczny x ( *P x ( ( = pierscienPrzemienny ( ( \l x ( ( & ( pierscien x ( ( przemienny x ( *P x ( ( = pierscien_z1 ( ( \l x ( ( & ( pierscien x ( ( \V_ ( \w x ( ( e_neutralny x ( *P x
( ( \A_ pierscien_z1 ( ( \l x ( ( ( e_neutralny x ( *P x ( 1P x
( ( = pierscienBezDzielnikow0 ( ( \l x ( ( & ( pierscien x ( ~ ( ( \V_ ( \w ( ( -{ ( { ( 0P x x ( ( \l y ( ( \V_ ( \w ( ( -{ ( { ( 0P x x ( ( \l z ( ( = ( ( ( *P y z ( 0P x ( ( = cialo ( ( \l x ( ( & ( pierscien_z1 x ( ( \A_ ( \w ( ( -{ ( { ( 0P x x ( ( \l y ( ( \V_ ( \w x ( ( ( e_przeciwny x ( *P x y ( ( = cialoPrzemienne ( ( \l x ( ( & ( cialo x ( pierscienPrzemienny x
zlozPierscien
( \A ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( => ( ( \V_ pierscienoid ( ( \l t ( ( & ( \A ( ( \l a ( ( = ( ( \w t a ( ( \w x a ( \A_ ( \w t ( ( \l a ( \A_ ( \w t ( ( \l b ( ( & ( ( = ( ( ( +P t a b ( ( y a b ( ( = ( ( ( *P t a b ( ( z a b ( ( = t ( ( ( zlozPierscien x y z
Odejmowanie i dzielenie
( \A ( ( \l x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( => ( ( \E!_ ( \w x ( ( \l t ( ( & ( ( = ( ( ( +P x y t z ( ( = ( ( ( +P x t y z ( ( & ( ( \w x ( ( ( -P x y z ( ( & ( ( = ( ( ( +P x y ( ( ( -P x y z z ( ( = ( ( ( +P x ( ( ( -P x y z y z ( \A ( ( \l x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( => ( ( \E!_ ( \w x ( ( \l t ( ( & ( ( = ( ( ( *P x y t z ( ( = ( ( ( *P x t y z ( ( & ( ( \w x ( ( ( /P x y z ( ( & ( ( = ( ( ( *P x y ( ( ( /P x y z z ( ( = ( ( ( *P x ( ( ( /P x y z y z
Relacje i porządki
( ( = ( formula_n 1. formula ( ( \A_ ( \w \N+ ( ( \l x ( ( = ( formula_n ( 'N x ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( formula_n x ( y z ( ( = relacja ( formula_n 2.
( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( porzadkoid x ( ( & ( ( & ( relacja ( >P x ( relacja ( >=P x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( & ( ( & ( ( & ( ( = ( ( ( >=P x y z ( ( lub ( ( ( >P x y z ( ( = y z ( ( = ( ( ( >P x y z ( ( & ( ( ( >=P x y z ( ~ ( ( = y z ( ( = ( ( ( >P x y z ( ( ( <P x z y ( ( = ( ( ( >=P x y z ( ( ( =<P x z y
... praporządek niedopracowany
( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( prauporzadkowany x ( ( & ( porzadkoid x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( => ( ( & ( ( ( >=P x y z ( ( ( >=P x z t ( ( ( >=P x y t ( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( uporzadkowanyCzesciowo x ( ( & ( prauporzadkowany x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( => ( ( & ( ( ( >=P x y z ( ( ( >=P x z y ( ( = y z ( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( uporzadkowany x ( ( & ( uporzadkowanyCzesciowo x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( lub ( ( ( >=P x y z ( ( ( >=P x z y
( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( => ( ( \V_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( ( >=P x y z ( ( & ( ( \w x ( najwiekszy x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( ( >=P x ( najwiekszy x z ( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( => ( ~ ( ( \V_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( ( >=P x y z ( ~ ( ( \w x ( najwiekszy x ( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( => ( ( \V_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( ( =<P x y z ( ( & ( ( \w x ( najmniejszy x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( ( =<P x ( najwiekszy x z ( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( => ( ~ ( ( \V_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( ( =<P x y z ( ~ ( ( \w x ( najmniejszy x ( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( \A_ ( podstruktura x ( ( \l y ( ( = ( ( ograniczonyZGory x y ( ( \V_ ( \w x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w y ( ( >=P x z ( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( \A_ ( podstruktura x ( ( \l y ( ( = ( ( ograniczonyZDolu x y ( ( \V_ ( \w x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w y ( ( =<P x z
( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( cialoPrzemienneUporzadkowane x ( ( & ( ( & ( cialoPrzemienne x ( uporzadkowany x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( & ( ( => ( ( ( >=P x y z ( ( ( >=P x ( ( ( +P x t y ( ( ( +P x t z ( ( => ( ( & ( ( ( >=P x t ( 0P x ( ( ( >=P x ( ( ( *P x t y ( ( ( *P x t z
gęstość, ciągłość itp.
( ( \A_ uporzadkowany ( ( \l x ( ( = ( gesty x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( => ( ( ( >P x y z ( ( \V_ ( \w x ( ( \l t ( ( & ( ( ( >P x y t ( ( ( >P x t z ( \A ( ( \l x ( ( = ( ciagleUporzadkowany x ( ( & ( ( & ( ( & ( uporzadkowany x ( gesty x ( ( \A_ ( podstruktura x ( ( \l y ( ( => ( ( ograniczonyZGory x y ( ( \w y ( najwiekszy y ( ( \A_ ( podstruktura x ( ( \l y ( ( => ( ( ograniczonyZDolu x y ( ( \w y ( najmniejszy y
Podstruktura - coś jak podzbiór, ale z zachowaniem struktury
( \A ( ( \l x ( \A ( ( l y ( ( => ( ( podstruktura x y ( ( &( ( podzbior x y ( ( & ( ( = ( +P x ( +P y ( ( & ( ( = ( *P x ( *P y ( ( & ( ( = ( >P x ( >P y ( ( & ( ( = ( <P x ( <P y ( ( & ( ( = ( >=P x ( >=P y ( ( & ( ( = ( =<P x ( =<P y ( ( \A_ klasa ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( ( => ( formula ( ( &\l ( \w x y ( ( definiuje ( ( &\l ( ( \l z ( ( = ( ( &\l ( \w x y ( \w z ( podstruktura x ( ( {f y x ( ( = nadstruktura ( \kappa_1<->2 podstruktura
Liczby rzeczywiste i zespolone[]
... zaznaczyć, że nie definiuje
( cialoPrzemienneUporzadkowane \R ( ciagleUporzadkowany \R ( ( = ( >=P \R >= ( ( podstruktura \R \N ( ( = -1. ( -. 1 ( ( = \R+ ( ( {f ( < . \R ( ( = \R- ( ( {f ( > . \R ( ( podstruktura \C \R ( cialoPrzemienne \C ( ( = ( +P \C + ( ( = ( *P \C * ( ( = ( -P \C - ( ( \A_ ( \w \C ( ( \l x ( ( = ( -. x ( ( - x . ( ( = ( /P \C / ( ( = ( * \i \i -1. ( ( \w \C \i
Przedziały
( ( \A_ ( \w \R ( ( \l x ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l y ( ( = ( ( ][ x y ( ( {f ( ( &\l ( > x ( ( < y \R ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l x ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l y ( ( = ( ( [] x y ( ( {f ( ( &\l ( >= x ( ( =< y \R ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l x ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l y ( ( = ( ( [[ x y ( ( {f ( ( &\l ( >= x ( ( < y \R ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l x ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l y ( ( = ( ( ]] x y ( ( {f ( ( &\l ( > x ( ( =< y \R
Wartość bezwzględna
( ( \A_ ( \w \R+ ( ( \l x ( ( = x ( | x ( ( = . | . ( ( \A_ ( \w \R- ( ( \l x ( ( = ( -. x ( | x
Nieskończoność
( ( \A_ ( \w R ( > niesk
Przestrzeń topologiczna[]
( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( topologiczna x ( ( & ( ( & ( ( & ( ( & ( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( logiczny ( ( otwarty x y ( \A ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( => ( \A ( ( \l t ( ( = ( ( \w y t ( ( \w z t ( ( = ( ( otwarty x y ( ( otwarty x z ( ( & ( ( otwarty x {} ( ( otwarty x x ( ( \A_ ( otwarty x ( ( \l y ( ( \A_ ( otwarty x ( ( \l z ( ( otwarty x ( ( \n y z ( ( \A_ ( podzbior ( {f ( otwarty x ( ( \l y ( ( otwarty x ( \U y
Otoczenie
( ( \A_ topologiczna ( ( \l x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( = ( ( otoczenieOtwarte x y ( ( &\l ( otwarty x ( ( \wen y ( ( \A_ topologiczna ( ( \l x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( = ( ( otoczenie x y z ( ( & ( podzbior x z ( ( \V_ ( podzbior z ( ( otoczenieOtwarte x y ( ( \A_ topologiczna ( ( \l a ( ( \A_ ( \w a ( ( \l b ( ( = ( ( otoczenia a b ( ( {f ( ( otoczenie a b ( \P a
Brzeg
( ( \A_ topologiczna ( ( \l x( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( = ( ( ( brzegowy x y z ( ( \A_ ( ( otoczenie x z ( ( \l t ( ( & ( ( \A_ ( \w t ( \w y ( ( \A_ ( \w t ( ( ~\l ( \w y ( ( \A_ topologiczna ( ( \l x( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( ( = ( ( brzeg x y ( ( {f ( ( brzegowy x y x
równoważne cechy
( ( \A_ topologiczna ( ( \l x ( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( ( = ( ( otwarty x ( ( -{ y x ( ( zamkniety x y ( ( \A_ topologiczny ( ( \l x ( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( ( = ( ( wnetrze x y ( ( {f ( ( \l z ( ( \V_ ( ( &\l ( otwarty x ( podzbior y ( ( \wen z y ( ( \A_ topologiczny ( ( \l x ( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( ( = ( ( domkniecie x y ( ( \u ( ( brzeg x y y
Granice[]
Formalnie zdefiniowane dążenie działające do wszystkiego (wyrażenia y po filtrze x dąży do filtra z) (albo i nie filtrze)
( \A ( ( \l x ( \A ( ( \l y ( \A ( ( \l z ( ( = ( ( ( _-> x y z ( ( \A_ ( \w z ( ( \l t ( ( \V_ ( \w x ( ( \l u ( ( \A_ ( \w u ( ( \l v ( ( \w t ( y v
I formalnie zdefiniowana granica - granica po a ze zbioru filtrów b funkcji c - jedyne d z b takie, że ( ( ( _-> a c d
( \A ( ( \l a ( \A ( ( \l b ( \A ( ( \l c ( ( & ( ( = ( ( \w b ( ( ( _lim a b c ( ( \E!_ ( \w b ( ( _-> a c ( ( => ( ( \w b ( ( ( _lim a b c ( ( ( _-> a c ( ( ( _lim a b c
Granica ciągu w p-ni topologicznej
( ( \A_ topologiczna ( ( \l a ( ( \A_ ( ( \l b ( ( podzbior a ( ( {z b \N ( ( \l b ( ( = ( ( limN a b ( jedyne ( \w ( \U ( ( ( _lim ( ( {z ( ( \l c ( ( [N c niesk \N ( ( {z ( otoczenia a a b
Zwykła granica funkcji dla liczb rzeczywistych
( \A ( ( \l x ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l y ( ( => ( ( \V_ ( \w \R+ ( ( \l z ( ( \A_ ( \w ( ( -{ ( ( ][ ( ( - z y ( ( + z y { y ( f\l ( \w R x ( ( definiuje ( ( \l z ( ( \A_ ( \w R+ ( ( \l t ( ( \V_ ( \w \R+ ( ( \l u ( ( \A_ ( \w ( ( -{ ( ( ][ ( ( - u y ( ( + u y { y ( f\l ( \w ( ( ][ ( ( - u y ( ( + u y x ( ( lim x y
Pochodna
...przynajmniej jeśli granica istnieje
( \A ( ( \l x ( ( \A_ ( \w \R ( ( \l y ( ( = ( ( lim ( ( \l z ( ( / z ( ( - ( x y ( x ( ( + z y ( ( ' x y
Przestrzeń wektorowa[]
( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( wektorowa x ( ( & ( ( & ( ( & ( ( & ( ( addytywna grupaPrzemienna x ( cialo ( nad x ( ( \A_ ( \w ( nad x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w ( nad x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( = ( ( ( *V x y ( ( ( *V x z t ( ( ( *V x ( ( ( *P ( nad x z y t ( ( \A_ ( \w ( nad x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w ( nad x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( = ( ( ( *V x ( ( ( +P ( nad x z y t ( ( ( +P x ( ( ( *V x z t ( ( ( *V x y t ( ( \A_ ( \w ( nad x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( = ( ( ( *V x y ( ( ( +P x t z ( ( ( +P x ( ( ( *V x y t ( ( ( *V x y z
Przestrzeń metryczna[]
( ( \A_ klasa ( ( \l x ( ( = ( metryczna x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( & ( ( & ( ( & ( ( \w \R+ ( ( ( \d x y z ( ( = ( ( = ( ( ( \d x y z . ( ( = y z ( ( = ( ( ( \d x y z ( ( ( \d x z y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l t ( ( =< ( ( ( \d x y z ( ( + ( ( ( \d x y t ( ( ( \d x t z
Kula
( ( \A_ metryczna ( ( \l x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w \R+ ( ( \l z ( ( = ( ( ( \K x y z ( ( {f ( ( \l t ( ( > z ( ( ( \d x y t x
jest topologiczna
( ( \A_ metryczna topologiczna ( ( \A_ metryczna ( ( \l x ( ( \A_ ( podzbior x ( ( \l y ( ( = ( \w ( wnetrze x y ( ( \l z ( ( \V
Ciągi Cauchy'ego, przestrzeń zupełna
( ( \A_ metryczna ( ( \l x ( ( \A_ ( ( \l y ( ( podzbior x ( ( {z y \N ( ( \l y ( ( = ( ( Cauchyego x y ( ( \A_ ( \w \R+ ( ( \l z ( ( \V_ ( \w \N ( ( \l t ( ( \A_ ( \w ( ( [N t niesk ( ( \l u ( ( \A_ ( \w ( ( [N t niesk ( ( \l v ( ( < ( ( ( \d x ( y u ( y v z ( ( \A_ metryczna ( ( \l x ( ( = ( zupelna x ( ( \A_ ( ( \l y ( ( podzbior x ( ( {z y \N ( ( \l y ( ( => ( ( Cauchyego x y ( ( \w y ( ( lim_ x y
Przestrzeń unormowana[]
Przestrzeń unormowana (na razie nad \R)
( ( \A_ wektorowa ( ( \l x ( ( => ( ( = \R ( nad x ( ( = unormowana x ( ( & ( ( & ( ( & ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \w \R+ ( ( || x y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( = ( ( = ( ( || x y . ( ( = ( 0P x y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( ( ( \A_ ( \w ( nad x ( ( \l z ( ( = ( ( * ( | z ( ( || x y ( ( || x ( ( ( *V x z y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( =< ( ( || x ( ( ( +P x y z ( ( + ( ( || x y (( || x z
jest metryczna
( ( \A_ unormowana metryczna ( ( \A_ unormowana ( ( \l x ( ( \A_ ( \w x ( ( \l y ( ( \A_ ( \w x ( ( \l z ( ( = ( ( || x ( ( ( -P x y z ( ( ( \d x y z
Przestrzenie Banacha
( ( = ( ( &\l zupelna unormowana Banacha
Pochodna '__ funkcji d z a do b w c
( ( \A_ unormowana ( ( \l a ( ( \A_ unormowana ( ( \l b ( ( \A_ ( \w a ( ( \l c ( ( \A_ ( ( \l d ( ( \V_ ( ( otoczenie a c ( ( \l e ( ( podzbior b ( ( {f d e ( ( \l d ( ( jedyne ( ( \l e ( ( = . ( ( ( lim_ a ( ( \l f ( ( / ( ( || a f ( ( || b ( ( ( -P b e ( ( ( -P b ( d c ( d ( ( ( +P a e c ( 0P a ( ( ( ( '__ a b d c
... ciagła ...liniowa ...odwracalna ... lim_ ... różniczkowalne__ ... osobliwa
Twierdzenie o funkcji uwikłanej[]
Dla każdego d z a do b określonego na otoczeniu c
( ( \A_ Banacha ( ( \l a ( ( \A_ Banacha ( ( \l b ( ( \A_ ( \w a ( ( \l c ( ( \A_ ( ( \l d ( ( \V_ ( ( otoczenie a c ( ( \l e ( ( podzbior b ( ( {f d e ( ( \l d ( ( => ( ( & ( ( ( ( różniczkowalne__ a b d c ( ~ ( osobliwa ( ( ( ( '__ a b d c ( odwracalna d
... ( odwracalna d ???
Paradoks[]
( ( \l x ( ( = nie ( x x
zastosowany na siebie
( ( ( \l x ( ( = ( ( ani = ( x x ( ( \l x ( ( = ( ( ani = ( x x
(o ile lambda może działać na lambdę)